Matemáticas y algo más...: Ejercicios Resueltos

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viernes, 4 de noviembre de 2011

Problema resuelto. Estática.

P1. Determine la magnitud de la fuerza resultante que actúa sobre la armella roscada y su dirección medida en el sentido de las manecillas del reloj desde el eje 'x'.

Solución: (Clic para ampliar).

sábado, 8 de octubre de 2011

Ejercicios resueltos. Mecánica de fluidos.

Un documento en PDF, que contiene 4 ejercicios resueltos de mecánica de fluidos (propiedades de los fluidos), incluyendo los siguientes temas:

- Tensión superficial

- Viscosidad

Link: Ejercicios resueltos (Viscosidad, Tensión superficial).

jueves, 6 de octubre de 2011

Ejercicio de estática. Equilibrio.

E1. Si el cable CD está sometido a una tensión que es dos veces mayor que la del cable CA, determine el ángulo $[;\theta;]$ necesario para lograr el equilibrio del cilindro de 10 kg. Además, ¿cuáles son las tensiones en los cables CA y CB?

Establecemos la relación indicada en el problema entre las tensiones CA y CB:

$[;T_{CB}=2\,T_{CA};]$

Calculamos el peso W del cilindro, y tenemos que W= 98.1 N. Ahora realizaremos sumatorias de fuerzas en la dirección x (horizontal) e igualamos a cero para establecer el equilibrio:

$[;\sum\,F_{x}=0;]$

$[;T_{\tiny CB}\,cos\,\theta-T_{\tiny CA}\,cos\, 30=0;]$
$[;T_{\tiny CB}\,cos\,\theta = T_{\tiny CA}\,cos\,30;]$
$[;cos\,\theta =\frac{T_{\tiny CA}\,cos\,30}{2\,T_{\tiny CA}};]$

$[;\theta=cos^{-1}\,(\frac{cos\,30}{2});]$
$[;\color{blue}\theta=64.34^{o};]$

Luego, conociendo ya el ángulo $[;\theta;]$ , procedemos a sumar fuerzas en la dirección y.

$[;\sum F_{\tiny y}=0;]$
$[;T_{\tiny CB}\,sen\,64.34+T_{\tiny CA}\,sen\,30-98.1=0;]$
$[;T_{\tiny CA}\,(2\,sen\,64.34+sen\,30)=98.1;]$

$[;T_{\tiny CA}=\frac{98.1}{2\,sen\,64.34+sen\,30};]$
$[;\color{red}T_{\tiny CA}=42.6\,N;]$
$[;\color{red}T_{\tiny CB}=2\,T_{\tiny CA}=85.2\,N;]$

lunes, 3 de octubre de 2011

Ejercicios de Mecánica de Fluidos. Distribución de Presiones.

E1. La compuerta superior AB tapa una apertura circular de 80 cm de diámetro. La compuerta se mantiene cerrada mediante una masa de 200 kg, tal como se muestra en la figura. Suponga que la gravedad es estándar y la temperatura de 20ºC. ¿Para que valor de h se desbloqueará la compuerta?. Desprecie el peso de la compuerta.

Respetando el principio que enuncia que la presión es la misma en cualquier posición horizontal de un fluido, sabemos entonces que la presión en la compuerta AB está dada por la presión que ejerce la columna de agua debida a la altura h. Siendo así, la presión AB quedaría expresada como:

$[;P_{AB}=\gamma\,h;]$

Luego, la presión AB que nos interesa es aquella que ejerce la masa de 200 kg sobre la compuerta, puesto que cuando esta presión sea menor que la ejercida por la columna de fluido h, entonces se abrirá la compuerta. Despejando h de la expresión anterior, y tomado en cuenta que la presion AB está dada por el peso de la masa de 200 kg sobre el área circular de la compuerta.

$[;h=\frac{P_{AB}}{\gamma};]$ $[;\rightarrow;]$ $[;h=\frac{W_{200}/A}{\gamma};]$

Sustituyendo los valores dados, tenemos:

$[;h=\frac{(200\,kg)\,(9.81\,m/s^2)\,/\,(\pi\,0.4^2)}{9806\,N/m^3};]$

Una vez realizando operaciones, obtenemos el valor para h:

$[;h=0.398\,m \approx 40\,cm;]$

domingo, 2 de octubre de 2011

EDVS

Encontrar una solución general para las siguientes EDVS.

E1.

Primeramente reescribimos la ecuación:

$[;\frac{dy}{dx}=3(y+1);]$

Luego separamos variables tal como sigue:

$[;\frac{dy}{3(y+1)}=dx;]$

Integrando y despejando para obtener la solución general:

$[;\int \frac{dy}{3y+3}=\int dx;]$

$[;\frac{1}{3} \, ln(3y+3)=x+C;]$

[;ln(3y+3)=3x+k;]

$[;3y+3=M\, e^{3x};]$

$[;\color{blue}y=A\,e^{3x}-1;]$

E2. $[;y'\,sen\,2x=y\,cos\,2x;]$

Reescribiendo la ecuación y separando variables:

$[;\frac{dy}{y}=\frac{cos\,2x}{sen\,2x}\,dx;]$

Integrando ambos miembros

$[;\int \frac{dy}{y}=\int \,cot\,2x\,dx;]$

$[;ln\,y=\frac{1}{2}\,ln(sen\,2x)+C;]$

Despejando a [;y;]

$[;\color{red}y=k\,(sen\,2x)^{\frac{1}{2}};]$

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