Problema resuelto. Estática.

P1. Determine la magnitud de la fuerza resultante que actúa sobre la armella roscada y su dirección medida en el sentido de las manecillas del reloj desde el eje 'x'.







Solución: (Clic para ampliar).

Los elementos químicos más activos

Los electrones rodean al núcleo atómico en esferas concéntricas llamadas "capas". Para cada elemento hay un número fijo de electrones en cada capa. La distribución es especialmente estable cuando hay ocho electrones en la capa más exterior.

Supongamos, sin embargo, que un elemento tiene tantos electrones, que después de acomodar ocho de ellos en una de las capas exteriores quedan varios por alojar en una capa aún más externa. Estos pocos electrones, los más exteriores y, como todos, cargados negativamente, son atraídos muy débilmente por el núcleo atómico, cargado positivamente y situado en el centro. Esos electrones exteriores son cedidos con gran facilidad a otros átomos. Lo que quede ahora del átomo es esa disposición estable de ocho electrones en la capa más externa.

Las reacciones químicas implican la transferencia de electrones, por lo cual un elemento que pueda perder fácilmente uno o más participará ávidamente en tales reacciones y será "químicamente activo". Por lo general, cuantos menos sean los electrones que excedan de ocho, tanto más fácilmente son transferidos y más activo es el elemento. Los elementos más activos con los que tienen un único electrón por encima de los ocho: aquellos en los que hay un electrón solitario en las capas exteriores.

Ejemplos de tales elementos son el sodio, con una distribución electrónica en tres capas (2, 8, 1), y el potasio, en cuatro capas (2, 8, 8, 1).

Las capas electrónicas interiores tienden a aislar a ese solitario electrón exterior del núcleo, positivamente cargado. Cuantas más capas haya entremedias, tanto más débil es la atracción del núcleo sobre el electrón exterior y tanto más fácil es que el átomo lo transfiera. Por eso el potasio es más activo que el sodio, y el cesio (2, 8, 18, 18, 8, 1) más aún que el potasio.

Todavía más activo sería el francio (2, 8, 18, 32, 18, 8, 1), pero tiene el inconveniente que sólo se pueden estudiar unos cuantos átomos cada vez. Su isótopo más estable tiene una vida media de sólo veintiún minutos. El cesio es, por tanto, el elemento metálico estable más activo.

Supongamos ahora que a un elemento le faltan algunos electrones para completar una capa exterior de ocho. Tales átomos muestran cierta tendencia a aceptar ciertos electrones hasta completar la cifra de ocho. Por consiguiente, intervienen ávidamente en reacciones químicas y son activos.

En general, cuanto menor es el número de electrones que faltan para completar los ocho, mayor es la tendencia a aceptar electrones. Por eso los elementos los elementos más activos de esta clase son aquellos cuyos átomos contienen siete electrones en la capa exterior, necesitando sólo uno para completar los ocho.

Ejemplos de tales elementos son el cloro, cuya distribución de electrones es (2, 8, 7), y el bromo, con (2, 8, 18, 7).

En estos elementos ocurre que cuanto mayor es la atracción del núcleo, mayor es la tendencia a robar el electrón que falta. A menor número de capas internas de electrones, menor aislamiento alrededor del núcleo, mayor la atracción de éste y más activo el elemento.

De los elementos de esta clase, el que menos capas de electrones tiene es el flúor, con una disposición electrónica (2, 7). El flúor es, por tanto, el elemento no metálico más activo.

Fuente: Isaac Asimov, Cien Preguntas Básicas.

Imagen vía: diarioaportes.cl

Ejercicios resueltos. Mecánica de fluidos.

Un documento en PDF, que contiene 4 ejercicios resueltos de mecánica de fluidos (propiedades de los fluidos), incluyendo los siguientes temas:

- Tensión superficial

- Viscosidad

Link: Ejercicios resueltos (Viscosidad, Tensión superficial).

¿Se puede comprimir el agua?

La contestación más sencilla es que cualquier cosa se puede comprimir.

Lo cierto es que es mucho más fácil comprimir materia en forma gaseosa que en cualquier otra modalidad. Y es porque los gases están compuestos de moléculas muy separadas entre sí. En el aire normal, pongamos por caso, las moléculas ocupan algo así como una décima parte del volumen total.

Para comprimir un gas basta con apretujar las moléculas un poco contra la tendencia expansiva de su propio movimiento aleatorio y eliminar algo del espacio vacío que existe entre ellas. Es un trabajo para el cual basta la fuerza muscular del hombre. Cuando hinchamos un globo estamos comprimiendo aire.

En el caso de los líquidos y sólidos, los átomos y moléculas que los componen están más o menos en contacto. Si no se acercan aún más es por la repulsión mutua de los electrones que existen en las regiones, exteriores de los átomos. Esta repulsión es una resistencia mucho más fuerte a la compresión que el movimiento molecular en un gas. Se quiere decir que los músculos humanos no bastan ya para realizar este trabajo, al menos para que sea perceptible.

Pensemos por un momento que vertimos cierta cantidad de agua en un recipiente rígido abierto por arriba y que ajustamos un pistón en la abertura hasta tocar al agua. Si empujamos el pistón hacia abajo con todas nuestras fuerzas, veremos que apenas cederá. Por eso se dice a menudo que el agua es "incompresible" y que no se puede apretujar en un volumen más pequeño.

Nada de eso. Al empujar el pistón sí que comprimimos el agua, pero no lo suficiente para medirlo. Si la presión aplicada es mucho mayor que la que pueden ejercer los músculos humanos, la disminución del volumen de agua, o de cualquier otro líquido o sólido, llega a ser medible. Por ejemplo, si comprimimos 100 litros de agua con una fuerza de 1.050 kilogramos por centímetro cuadrado, su volumen se contraerá a 96 litros. Si la presión aumenta aún más, el volumen Seguirá disminuyendo. Bajo tal compresión, los electrones son, empujados, por así decir, cada vez más cerca del núcleo.

Si la presión se hace suficientemente grande, digamos que por el peso acumulado de muchos miles de kilómetros de materia bajo una gran fuerza gravitatoria—, la repulsión electrostática se viene abajo. Los electrones ya no se pueden mantener en órbita alrededor del núcleo y son desplazados. La materia se reduce entonces a núcleos atómicos desnudos y electrones volando de acá para allá en movimientos alocados.

Los núcleos son mucho más diminutos que los átomos, de manera que esta "materia degenerada" sigue siendo en su mayor parte espacio vacío. La presión en el centro de la Tierra o incluso de Júpiter no es suficiente para formar materia degenerada, pero en cambio sí la hay en el centro del Sol.

Una estrella compuesta por entero de materia degenerada puede tener la misma masa que el Sol y aun así poseer un volumen no mayor que el de la Tierra. Es lo que se llama una "enana blanca". Bajo su propia gravedad puede comprimirse aún más, hasta quedar compuesta de neutrones en contacto mutuo. Tales "estrellas de neutrones" pueden albergar la masa entera del Sol en una esfera de trece kilómetros.

E incluso eso puede comprimirse, piensan los astrónomos, hasta el volumen cero de un "agujero negro".

Fuente: Cien Preguntas Básicas, Isaac Asimov.

¿Qué es un agujero negro?

Para entender lo que es un agujero negro empecemos por una estrella como el Sol. El Sol tiene un diámetro de 1.390.000 kilómetros y una masa 330.000 veces superior a la de la Tierra. Teniendo en cuenta esa masa y la distancia de la superficie al centro se demuestra que cualquier objeto colocado sobre la superficie del Sol estaría sometido a una atracción gravitatoria 28 veces superior a la gravedad terrestre en la superficie.

Agujero negro. (Vía: Agridulce)

Una estrella corriente conserva su tamaño normal gracias al equilibrio entre una altísima temperatura central, que tiende a expandir la sustancia estelar, y la gigantesca atracción gravitatoria, que tiende a contraerla y estrujarla.

Si en un momento dado la temperatura interna desciende, la gravitación se hará dueña de la situación. La estrella comienza a contraerse y a lo largo de ese proceso la estructura atómica del interior se desintegra. En lugar de átomos habrá ahora electrones, protones y neutrones sueltos. La estrella sigue contrayéndose hasta el momento en que la repulsión mutua de los electrones contrarresta cualquier contracción ulterior.

La estrella es ahora una "enana blanca". Si una estrella como el Sol sufriera este colapso que conduce al estado de enana blanca, toda su masa quedaría reducida a una esfera de unos 16.000 kilómetros de diámetro, y su gravedad superficial (con la misma masa pero a una distancia mucho menor del centro) sería 210.000 veces superior a la de la Tierra.

En determinadas condiciones la atracción gravitatoria se hace demasiado fuerte para ser contrarrestada por la repulsión electrónica. La estrella se contrae de nuevo, obligando a los electrones y protones a combinarse para formar neutrones y forzando también a estos últimos a apelotonarse en estrecho contacto. La estructura neutrónica contrarresta entonces cualquier ulterior contracción y lo que tenemos es una "estrella de neutrones", que podría albergar toda la masa de nuestro sol en una esfera de sólo 16 kilómetros de diámetro. La gravedad superficial sería 210.000.000.000 veces superior a la de la Tierra.

En ciertas condiciones, la gravitación puede superar incluso la resistencia de la estructura neutrónica. En ese caso ya no hay nada que pueda oponerse al colapso. La estrella puede contraerse hasta un volumen cero y la gravedad superficial aumentar hacia el infinito.

Según la teoría de la relatividad, la luz emitida por una estrella pierde algo de su energía al avanzar contra el campo gravitatorio de la estrella. Cuanto más intenso es el campo, tanto mayor es la pérdida de energía, lo cual ha sido comprobado experimentalmente en el espacio y en el laboratorio.

La luz emitida por una estrella ordinaria como el Sol pierde muy poca energía. La emitida por una enana blanca, algo más; y la emitida por una estrella de neutrones aún más. A lo largo del proceso de colapso de la estrella de neutrones llega un momento en que la luz que emana de la superficie pierde toda su energía y no puede escapar.

Un objeto sometido a una compresión mayor que la de las estrellas de neutrones tendría un campo gravitatorio tan intenso, que cualquier cosa que se aproximara a él quedaría atrapada y no podría volver a salir. Es como si el objeto atrapado hubiera caído en un agujero infinitamente hondo y no cesase nunca de caer. Y como ni siquiera la luz puede escapar, el objeto comprimido será negro. Literalmente, un "agujero negro".

Hoy día los astrónomos están buscando pruebas de la existencia de agujeros negros en distintos lugares del universo.

Fuente:Cien Preguntas Básicas, Isaac Asimov. 

Ejercicio de estática. Equilibrio.

E1. Si el cable CD está sometido a una tensión que es dos veces mayor que la del cable CA, determine el ángulo necesario para lograr el equilibrio del cilindro de 10 kg. Además, ¿cuáles son las tensiones en los cables CA y CB?

 Establecemos la relación indicada en el problema entre las tensiones CA y CB:

 

 Calculamos el peso W del cilindro, y tenemos que W= 98.1 N. Ahora realizaremos sumatorias de fuerzas en la dirección x (horizontal) e igualamos a cero para establecer el equilibrio:
   

 

 
 

Luego, conociendo ya el ángulo , procedemos a sumar fuerzas en la dirección y.

Ejercicios de Mecánica de Fluidos. Distribución de Presiones.

E1. La compuerta superior AB tapa una apertura circular de 80 cm de diámetro. La compuerta se mantiene cerrada mediante una masa de 200 kg, tal como se muestra en la figura. Suponga que la gravedad es estándar y la temperatura de 20ºC. ¿Para que valor de h se desbloqueará la compuerta?. Desprecie el peso de la compuerta.

Respetando el principio que enuncia que la presión es la misma en cualquier posición horizontal de un fluido, sabemos entonces que la presión en la compuerta AB está dada por la presión que ejerce la columna de agua debida a la altura h. Siendo así, la presión AB quedaría expresada como:

 

Luego, la presión AB que nos interesa es aquella que ejerce la masa de 200 kg sobre la compuerta, puesto que cuando esta presión sea menor que la ejercida por la columna de fluido h, entonces se abrirá la compuerta. Despejando h de la expresión anterior, y tomado en cuenta que la presion AB está dada por el peso de la masa de 200 kg sobre el área circular de la compuerta.

           

Sustituyendo los valores dados, tenemos:

 

Una vez realizando operaciones, obtenemos el valor para h:

Ecuaciones diferenciales

Una ecuación diferencial ordinaria es aquella que contiene una o varias derivadas de una función desconocida, la cual pretende determinarse resolviendo la ecuación; una ecuación diferencial también puede incluir a la propia función, así como a constantes y otras funciones dadas. Algunos ejemplos de ecuaciones diferenciales se muestran a continuación:

 

 

 

El término ordinarias se utiliza para distinguirlas de las ecuaciones diferenciales parciales, en las cuales la función desconocida depende de dos o más variables independientes.

Las ecuaciones diferenciales surgen en muchas aplicaciones de ingeniería como modelos matemáticos de una situación real. Los casos más sencillos suelen admitir una solución haciendo uso del cálculo diferencial e integral elemental, otras ecuaciones de mayor complejidad requieren de métodos más  refinados y en múltiples ocasiones de una resolución numérica.

ORDEN DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES

El orden de una ecuación diferencial es el orden de la derivada mayor que contiene la ecuación.

Por ejemplo una ecuación diferencial de primer orden tendría la siguiente estructura:

 

Y generalizando, una ecuación de orden n tendrá la forma:

Donde (n) indica el orden de la derivada mayor.

EDVS

Encontrar una solución general para las siguientes EDVS.

E1.   

Primeramente reescribimos la ecuación:

Luego separamos variables tal como sigue:

 

Integrando y despejando para obtener la solución general:

 
     
 

E2.  

Reescribiendo la ecuación y separando variables:

 

Integrando ambos miembros



 

Despejando a

Sustancia pura

SUSTANCIA PURA

Una sustancia pura es aquella que tiene una composición química fija en cualquier parte y/o posición de ella. El agua, el nitrógeno, el helio, el dióxido de carbono, son ejemplos de sustancias puras.

Para considerarse sustancia pura no necesariamente tiene que estar constituida de un solo elemento químico o compuesto, la condición que debe cumplirse es que sea homogénea.

FASES DE UNA SUSTANCIA PURA

Es bien sabido que las sustancias existen en variadas fases dentro de la naturaleza. Por ejemplo, a temperatura y presión ambiente el cobre es un sólido, el mercurio un líquido y el nitrógeno un gas, pero en condiciones diferentes estas mismas sustancias podrían presentarse en otra fase. Principalmente se distinguen tres fases: sólida, líquida y gaseosa, sin embargo una sustancia puede tener varias etapas dentro de una fase principal, en la cual podría cambiar inclusive su estructura molecular. Un ejemplo claro es el carbono, que en la fase sólida lo podemos encontrar como diamante o bien gráfito, siendo estos relativamente distintos en su apariencia física y eso debido a un simple cambio en la disposición molecular.

Cuando se estudian los cambios de fases, en termodinámica, no es necesario poner el interés en la estructura molecular y el comportamiento de las distintas fases, pero si es muy útil comprender los fenómenos moleculares de cada fase.

Las moléculas en un sólido están dispuestas en un patrón tridimensional que se repite por todo el sólido. Las distancias entre las moléculas son muy pequeñas lo cual provoca que mediante la fuerzas de atracción intermoleculares se mantengan fijas. Pero necesariamente existen fuerzas de repulsión que actúan para evitar el apilamiento de las moléculas, definiendo de esta manera la red cristalina característica de cada sólido. 

El espaciamiento molecular en la fase líquida es parecido al de la fase sólida, con excepción de que las moléculas ya no están en posiciones fijas entre sí y pueden girar y trasladarse libremente. Las fuerza intermoleculares son relativamente más pequeñas que en los sólidos, pero mayor que la de los gases.

En la fase gaseosa las moleculas están considerablemente apartadas, no hay un orden molecular definido, se mueven al azar con colisiones continuas entre sí y contra las paredes del recipiente que las contiene. Las fuerzas intermoleculares son muy pequeñas, especialmente a bajas densidades, y las colisiones son la única forma de interacción entre moléculas. En la fase gaseosa las moléculas tienen un nivel de energía considerablemente mayor a la de las otras fases, lo cual hace que para congelar o condensar un gas es necesario que se libere una gran cantidad de la energía que posee.




PROCESOS DE CAMBIO DE FASE EN SUSTANCIAS PURAS

Podemos encontrar diversas situaciones cotidianas donde dos fases de una sustancia pura coexisten en equilibrio, ejemplo de ello es el agua que se presenta como una mezcla de líquido y vapor en una caldera.

Líquido comprimido 

Considere cierta cantidad de  agua a temperatura y presión normal, en estas condiciones el agua es totalmente líquida y no está a punto de evaporarse, por ello se dice que es un líquido comprimido o subenfriado.

Líquido saturado

Si al agua que teníamos en el caso anterior, le aplicamos calor mediante cualquier medio y consecuentemente aumentamos su temperatura, luego si suministramos calor suficiente para llevarla hasta los 100ºC entonces tendremos un líquido saturado, es decir un líquido que está a punto de evaporase pero que aún sigue siendo líquido, pero cualquier aumento en su temperatura por mínimo que sea comenzará a evaporarse.

Vapor saturado

Es un vapor que está a punto de condensarse, es decir, se encuentra a una cierta temperatura a la cual el mínimo decremento de calor podría causar su tranformación a la fase líquida.

Vapor sobrecalentado

Es un vapor al cual se le ha suministrado mucho más calor que un vapor saturado, es decir, se encuentra a una temperatura tal que no está a punto de condensarse.

Vapor húmedo

Es una fase comprendida entre el líquido saturado y el vapor saturado, en la cual las fases líquida y vapor coexisten en equilibrio. En el vapor húmedo, para el caso del agua existe tanto agua líquida como vapor de agua, en proporciones definidas por la temperatura.

Teoría de vigas

Un texto corto pero con un contenido interesante acerca de las vigas, a continuación algunos de los temas expuestos:

- Clasificación de las vigas.

- Tipos de cargas en una viga.

- Solución de vigas.

- Relación entre carga-cortante-momento.

- Flexión pura.

- Condiciones de frontera y de continuidad.

- Método de la doble integración, funciones de singularidad (Macaulay).

He aquí el link: Teoría de vigas

Definición de fluidos.

 Desde el punto de vista de la mecánica de los fluidos, la materia sólo puede presentarse en dos estados: sólido y fluido. La distinción técnica radica en la reacción de ambos a un esfuerzo tangencial o cortante. 

Figura 1. Comparación entre los esfuerzos y/o presión ejercidas en un sólido (derecha) y un fluido (izquierda). Nótese  que en la representación en el círculo de Mohr el fluido se reduce a un punto, debido a la ausencia de esfuerzos cortantes.

 Un  sólido  puede  resistir  un  esfuerzo  cortante  con  una  deformación  estática;  un  fluido  NO. Cualquier  esfuerzo  cortante  aplicado  a  un  fluido,  no  importa  cuán pequeño sea, provocará el  movimiento del fluido. Éste se mueve y se deforma continuamente mientras se siga aplicando el esfuerzo cortante. 

Podemos decir entonces que un fluido en  reposo debe estar en un estado de esfuerzo cortante nulo; estado que se denomina a menudo condición hidrostática en análisis estructural. En esta condición el círculo de Mohr se reduce a un punto debido a que no hay esfuerzo cortante en ningún plano que corte al elemento en cuestión.

Existen  dos  clases  de  fluidos:  líquidos  y  gases.  La  distinción  entre  uno  y  otro  concierne  al  efecto de las fuerzas cohesivas. Un líquido, al estar compuesto por agrupaciones de moléculas muy  cercanas  con  enormes  fuerzas  cohesivas,  tiende  a  conservar  su  volumen  y  formará superficie libre en el campo gravitatorio si no está limitado por arriba. En un gas las moléculas están  muy  separadas  entre  sí,  con  fuerzas  cohesivas  despreciables. Un gas tiene la libertad de expansionarse hasta que encuentra paredes que lo confinan. Un gas no tiene volumen definido por si mismo; sin confinamiento, forma una atmósfera que es esencialmente hidrostática.


PROPIEDADES DE LOS FLUIDOS

Presión
La presión es el esfuerzo (de compresión) en un punto de un fluido en reposo. Después de la velocidad, es la variable más significativa en la mecánica de los fluidos. Las diferencias de presión o gradientes de presión son generalmente los responsables del flujo, especialmente en conductos. La presión se mide en Pascales, que por definición equivale a:                              1 Pa = 1 N / 1 m².


Densidad
La densidad de un fluido se denota mediante la letra griega ρ (rho), y se define como la masa del fluido por unidad de volumen, simbólicamente:
   

ρ= m / V

Como puede deducirse de la fórmula, la densidad tiene unidades de masa (kg) por unidades de volumen (m ³).

Peso específico
Se representa mediante la letra griega γ (gamma), se define como el peso de un fluido por unidad de volumen.  

γ= W / V

donde W es el peso del fluido y V el volumen que éste ocupa. Por definición se sabe que el peso de una masa es producto de la fuerza que experimente debido a la gravedad terrestre, es decir, W=m*g. Sustituyendo esta igualdad en la fórmula anterior obtenemos una expresión que relaciona la densidad y el peso específico del fluido:

γ= ρ g

Las unidades del peso específico en el SI son Newtons por metro cúbico (N/m³)

Densidad relativa

La densidad relativa es la relación entre la densidad de un fluido cualesquiera y la de un fluido de referencia o estándar (generalmente agua para líquidos y el aire para gases)

ρrelativa= ρfluido / ρreferencia

Es muy común hacer uso de la densidad relativa en los textos de mecánica de fluidos, debido a que resulta un tanto más practica de manejarse.

El átomo, una visión moderna de su estructura.

A lo largo de la historia se han propuesto múltiples modelos que han intentado explicar la estructura y el comportamiento del átomo, no obstante el avance de la ciencia química permitido que muchos de ellos pasarán a ser un intento no acertado, y que pronto fuesen reemplazados por nuevas teorías que fueron obtenidas a partir de la experimentación con estas partículas diminutas.

En todo este periodo el número de partículas subatómicas ha crecido mucho y continúa haciéndolo. Sin embargo para los intereses de la química se puede adoptar una visión sencilla del átomo, la cual considera únicamente a tres partículas subatómicas: el electrón, el neutrón y el protón, las cuales se relacionan de manera muy directa con el comportamiento atómico, y desde una perspectiva generalizada son suficientes para predecir de manera aceptable los diversos procesos químicos en los cuales se implican.

Los electrones poseen carga eléctrica negativa (-), mientras que los protones poseen carga positiva (+), los neutrones carecen de carga eléctrica alguna (de ahí el nombre que llevan). La magnitud de la carga eléctrica de los electrones y protones es la misma (1.602E-19 Coulombs), siendo diferenciadas únicamente por el signo que les antecede respectivamente. Todo átomo tiene igual número de electrones que de protones, por lo cual los átomos no tienen una carga eléctrica neta.

Los protones y neutrones residen en el núcleo del átomo, siendo éste extremadamente pequeño en comparación con el volumen total del átomo. La mayor parte del volumen atómico es el espacio en el que se encuentran los electrones en sus respectivos niveles de energía y orbitales atómicos. Los electrones son atraídos hacia el núcleo por los protones, esto debido a la fuerza electrostática resultante entre partículas de cargas opuestas.

Números imaginarios

Hay dos clases de números con las que la mayoría de nosotros está familiarizado: los números positivos (+5, +17,5) y los números negativos (-5, -17,5). Los números negativos fueron introducidos en la Edad Media para poder resolver problemas como 3 - 5.

A los antiguos les parecía imposible restar cinco manzanas de tres manzanas. Pero los banqueros medievales tenían una idea muy clara de la deuda. “Dame cinco manzanas. Sólo tengo dinero para tres, de modo que te dejo a deber dos”, que es como decir


(+3) - (+5)= (-2).


Los números positivos y negativos se pueden multiplicar según reglas bien definidas. Un número positivo multiplicado por otro positivo da un producto positivo. Un número positivo multiplicado por otro negativo da un producto negativo. Y lo que es más importante, un número negativo multiplicado por otro negativo da un producto positivo. Así:


(+1) x (+1) = (+1);

(+1) x (-1) = (-1)

(-1) x (-1) = (+1).


Supongamos ahora que nos preguntamos: ¿Qué número multiplicado por sí mismo da +1? O expresándolo de manera más matemática: ¿Cuál es la raíz cuadrada de +1?


Hay dos soluciones. Una es +1, puesto que (+1) x (+1) = (+ 1). La otra es -1, puesto que (-1) x (-1) = (+1). Los matemáticos lo expresan en su jerga escribiendo


 = ± 1


Sigamos ahora preguntando: ¿Cuál es la raíz cuadrada de -1?


Aquí nos ponen en un brete. No es + 1, porque multiplicado por sí mismo da +1. Tampoco es -1, porque multiplicado por sí mismo da también +1. Cierto que (+1) x (-1) = (-1), pero esto es la multiplicación de dos números diferentes y no la de un número por sí mismo.


Podemos entonces inventar un número y darle un signo especial, por ejemplo # 1, definiéndolo como sigue: # 1 es un número tal que (# 1) x (# 1) = (-1).


Cuando se introdujo por vez primera esta noción, los matemáticos se referían a ella como un “número imaginario” debido simplemente a que no existía en el sistema de números a que estaban acostumbrados. De hecho no es más imaginario que los “números reales” ordinarios. Los llamados números imaginarios tienen propiedades perfectamente definidas y se manejan con tanta facilidad como los números que ya existían antes.


Y, sin embargo, como se pensaba que los nuevos números eran “imaginarios”, se utilizó el símbolo “i”. Podemos hablar de números imaginarios positivos (+i) y números imaginarios negativos (-i), mientras que (+1) es un número real positivo y (-1) un número real negativo. Así pues, podemos decir  = +i.


El sistema de los números reales tiene una contrapartida similar en el sistema de los números imaginarios. Si tenemos +5, -17,32, +3/10, también podemos tener +5i, -17,32i, +3i/10.


Incluso podemos representar gráficamente el sistema de números imaginarios.












Supóngase que representamos el sistema de los números reales sobre una recta, con el 0 (cero) en el centro. Los números positivos se hallan a un lado del cero y los negativos al otro.


Podemos entonces representar el sistema imaginario de números a lo largo de otra recta que corte a la primera en ángulo recto en el punto cero, con los imaginarios positivos a un lado y los negativos al otro. Utilizando ambos tipos al mismo tiempo se pueden localizar números en cualquier lugar del plano: (+2) + (+3i) ó (+3) + (-2i). Éstos son “números complejos”.


Para los matemáticos y los físicos resulta utilísimo poder asociar todos los puntos de un plano con un sistema de números. No podrían pasarse sin los llamados números imaginarios.




Fuente: http://www.librosmaravillosos.com/cienpreguntas/tema006.html  (Isaac Asimov)